Algebra I by Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

March 9, 2017 | Study Aids | By admin | 0 Comments

By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

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An zugeordnet. 1st a ein Element von unendlicher Ordnung, so ist der Homomorphismus ein 1somorphismus. Wir wollen nun speziell Homomorphismen von Gruppen untersuchen. Sind in einer Menge @ Produkte ii6 (also Relationen der Gestalt ii6 = c) definiert und ist eine Gruppe ® auf @homomorph abgebildet, so ist auch @eine Gruppe. Kurz: Das homomorphe Abbild einer Gruppe ist wieder eine Gruppe. Beweis. Zunachst sind je drei gegebene Elemente ii, 6, c von ® stets Bilder von Elementen von ®, also etwa von a, b, c.

Beispiele. Ordnet man jedem Element einer Gruppe das Einselement zu, so entsteht eine Homomorphie der Gruppe mit der Einheitsgruppe. Ebenso entsteht eine Homomorphie, wenn man jeder Permutation einer Permutationsgruppe die Zahl 1 oder - 1 zuordnet, je nachdem die Permutation gerade oder ungerade ist; die zugeordnete Gruppe ist die multiplikative Gruppe der Zahlen + 1 und -l. Ordnet man jeder ganzen Zahl m die Potenz am eines Elements a einer Gruppe zu, so entsteht ein Homomorphismus der additiven Gruppe der ganzen Zahlen mit der von a erzeugten zyklischen Gruppe, denn der Summe m + n ist das Produkt a m+n = am .

Ein Integritatsbereich mit endlichvielen Elementen ist ein Korper. (Vgl. den entsprechenden Gruppensatz in Kap. ) § 12. Homomorphie und Isomorphie Es seien mund @) Systeme mit doppelter Komposition. Nach der allgemeinen Definition von § 10 heiBt eine Abbildung q; von min @) ein Horrwmorphismus, wenn die Relationen a + b = c und ab = d bei der Abbildung erhalten bleiben, d. h. wenn bei der Abbildung die Summe a + b auf a + b und das Produkt a . b auf a . b abgebildet wird. Die Bildmenge 9t von m heiBt dann ein homorrwrphes Bild von m.

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