Algebra [Lecture notes] by Hans-Jürgen Schneider

March 9, 2017 | Elementary | By admin | 0 Comments

By Hans-Jürgen Schneider

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Das vorliegende Buch von George C. Romans bedarf keines Vorwortes im üblichen Sinne. used to be Homans aussagen will, sagt er selbst: klar, folgerichtig und ausführlich. Es wäre deshalb unerheblich, etwa darstellen zu wollen, ob ich ihn auch richtig ver­ standen habe. Es wäre auch vermessen, wollte ich das mir Wesentliche aus seinem Buche herausstellen.

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Die Konstruktion von 3. ist nicht für das Maximalspektrum anstelle des Spektrums möglich. Als Beispiel betrachte man die Inklusion Z → Q als Ringhomomorphismus: es ist 0 ∈ Max(Q) (denn Q/0 ∼ = Q ist ein Körper), aber 0 ∈ Max(Z). Definition. Für einen Ring R heißt Char R := 0, min {n falls n · 1R = 0 für alle n 1 | n · 1R = 0} sonst 1, die Charakteristik des Ringes. Dabei bezeichnet n · 1R die Skalarmultiplikation der additiven Gruppe des Ringes, aufgefaßt als Z-Modul, also n · 1R = 1 + 1 + · · · + 1 mit n Summanden für n ∈ N.

Die Gültigkeit der Axiome eines R-Linksmoduls für N ererbt sich von M ; der kanonische Gruppenepimorphismus kan : M → M/N ist offenbar auch ein Epimorphismus von R-Linksmoduln, und es ist weiterhin ker kan = N . h. es gibt eine eindeutig bestimmte R-lineare Abbildung f˜ : M/N → M mit f = f˜ ◦ kan. Zum Beweis genügt es nachzurechnen, daß der nach der universellen Eigenschaft der Faktorgruppe existente und eindeutig bestimmte Gruppenhomomorphismus f˜ : M/N → M mit f = f˜ ◦ kan auch R-linear ist; dies folgt aber wegen f˜(x) = f (x) aus der Definition der R-Linksmultiplikation auf M/N .

Es sei M ein R-Linksmodul. 1. Ist I eine Indexmenge und Mι ⊂ M für jedes ι ∈ I ein Untermodul, so heißt xκ | J ⊂ I endlich, xκ ∈ Mκ für alle κ ∈ J Mι := ι∈I κ∈J die Summe der Untermoduln Mι . 2. Für a ∈ M setzt man Ra := {ra | r ∈ A}; dies ist offenbar ein Untermodul. Für eine Teilmenge X ⊂ M bezeichnet man mit X := x∈X Rx den von X erzeugten Untermodul. Im Falle X = {x1 , . . , xn } endlich schreibt man auch x1 , . . , xn := n {x1 , . . , xn } = Rx1 + · · · + Rxn = i=1 Rxi zur Einsparung von Klammern, Tinte und Farbband.

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