Allgemeine Topologie I by René Bartsch

March 9, 2017 | Geometry And Topology | By admin | 0 Comments

By René Bartsch

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Lectures on Differential Geometry

This booklet is a translation of an authoritative introductory textual content in keeping with a lecture sequence brought by means of the popular differential geometer, Professor S S Chern in Beijing college in 1980. the unique chinese language textual content, authored through Professor Chern and Professor Wei-Huan Chen, was once a different contribution to the math literature, combining simplicity and economic climate of procedure with intensity of contents.

Projective Geometry

A learn of linear order and continuity to provide a origin for traditional actual or complicated geometry.

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Den soge¨ nannten Wohlordnungssatz betrachtet, dessen Aquivalenz zum Auswahlaxiom bewiesen wurde und der besagt, daß jede Menge wohlgeordnet werden k¨onne. Hier versagt recht flugs jede Anschaulichkeit, selbst bei so vertrauten Mengen wie etwa der Menge der reellen Zahlen. Oder erst der Satz von Banach und Tarski: das Auswahlaxiom vorausgesetzt, gibt es eine Zerlegung der u ¨ blichen Einheitskugel des IR3 in endlich viele Teile, die sich zu zwei vollst¨andigen Einheitskugeln wieder zusammensetzen lassen.

Dann muß aber auch x ∈ T gelten, da T sonst nicht maximal w¨ are. Existiert nun irgendein y ∈ X mit x ≤ y, so erhalten wir sofort y ∈ T wegen der Maximalit¨ at von T , daher y ≤ x wegen der Schrankeneigenschaft von x und folglich x = y. Somit ist x maximal in X. h. ein Element s von X mit ∀m ∈ M : m ≤ s. 2 Axiomatik 25 Aufgabe1 Eine Teilmenge M ⊆ IR2 heißt stumpf genau dann, wenn je drei beliebige verschiedene Punkte aus M stets ein stumpfwinkliges Dreieck bilden. Gib Beispiele f¨ ur stumpfe Teilmengen an und zeige, daß es bez¨ uglich Inklusion maximale stumpfe Teilmengen von IR2 gibt!

1 Sind X, Y Mengen, so heißt X m¨achtiger als Y genau dann, wenn es eine injektive Abbildung f : Y → X von Y in X gibt. In Zeichen |X| ≥ |Y |. Zwei Mengen X, Y heißen gleichm¨achtig genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung g : X → Y gibt. ) Eine Menge X heißt echt m¨ achtiger als die Menge Y genau dann, wenn sie m¨achtiger als Y , aber nicht gleichm¨ achtig zu Y ist. Aufgabe 2 Zeige, daß eine Menge X genau dann m¨achtiger als eine Menge Y ist, wenn es eine surjektive Abbildung g : X → Y von X auf Y gibt!

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